Une annee en 'metrie' (geometrie) - Le blog de martinbinetmathfootclub

Differents_triangles

1. 36 formulesFORMULE 1- Calcul de la surface d'un triangle connaissant les valeurs de la base et de la hauteur (figure 1-a).

FORMULE 2- Calcul de la surface d'un triangle équilatéral, "triangle ayant trois côtés égaux" (figure 1-b) connaissant la longueur du côté.

Exemple (figure 1-b) :

Donnée : c =5 cm Surface : S 0,433 x 5² = 0,433 x 25 = 10,825 cm²

FORMULE 3- Calcul de la surface d'un triangle isocèle "triangle ayant deux côtés égaux" connaissant la valeur des côtés égaux et de la base.

FORMULE 4- Calcul de la surface d'un triangle scalène "triangle ayant trois côtés inégaux" connaissant la longueur des côtés.

Dans cette formule «p» désigne le demi-périmètre, c'est-à-dire la demi-somme des trois côtés. Avant d'appliquer la formule, il faut calculer à part la valeur «p» du demi-périmètre.

FORMULE 5- Calcul de l'hypoténuse d'un triangle rectangle connaissant les deux autres côtés (le triangle rectangle est un triangle ayant un angle de 90° ; l'hypoténuse est le plus grand côté, les deux autres côtés forment l'angle de 90°). (Voir la figure 1-e ci-dessus).

FORMULE 6- Calcul d'un côté d'un triangle rectangle connaissant les longueurs de l'hypoténuse et de l'autre côté (pour la signification des termes, reportez-vous à la formule 5).

FORMULE 7- Calcul de la surface d'un triangle rectangle connaissant les deux côtés de l'angle droit.

FORMULE 8-Calcul de la diagonale d'un carré connaissant la longueur du côté. (Figure 2-a).

FORMULE 9- Calcul de la surface d'un carré connaissant la longueur du côté.

Exemple (figure 2-a) :

Donnée : c = 50 mm Surface : S = 50² = 2 500 mm²

FORMULE 10- Calcul de la surface d'un carré connaissant la longueur de la diagonale.

S = d² / 2 S = surface d = diagonale

Exemple (figure 2-a) :

Donnée : d 70,70 mm(valeur approchée établie avec la formule 8)

Surface : S 70,70² / 2 = 4 998,49 / 2 = 2 499,245 mm²

Comparez ce résultat avec celui obtenu en appliquant la formule 9. La différence de 0,755 mm² (2 500 - 2 499,245 = 0,755) est due à l'introduction de la valeur approchée de 70,70dans le calcul de la surface, mais l'erreur qui en résulte est très faible (seulement de 0,03 %), donc pratiquement négligeable.

(Pour faciliter la lecture, nous reportons la même figure ci-dessous à savoir figure 2).

FORMULE 11 - Calcul de la diagonale d'un rectangle connaissant les valeurs de la base et de la hauteur.

(Cette formule ci-dessus est similaire à la formule 5).

FORMULE 12- Calcul de la surface d'un rectangle connaissant les valeurs de la base et de la hauteur.

S = b x h S = surface b = base h = hauteur

Exemple (figure 2-b) :

Données : b = 10 cm ; h = 5 cm Surface : S = 10 x 5 = 50 cm²

FORMULE 13- Calcul de la surface d'un losange connaissant la longueur des diagonales (le losange est un quadrilatère ayant quatre côtés égaux et des angles adjacents inégaux).

S = D x d / 2 S = surface D = grande diagonale d = petite diagonale

Exemple (figure 2-c) :

Données : D = 8 cm ; d = 5 cm Surface : S = 8 x 5 / 2 = 40 / 2 = 20 cm²

FORMULE 14- Calcul de la surface d'un parallélogramme connaissant les valeurs de la base et de la hauteur.

S = b x h S = surface b = base h = hauteur

(Cette formule ci-dessus est similaire à la formule 12).

Exemple (figure 2-d) :

Données : b = 15 cm ; h = 6 cm Surface : S = 15 x 6 = 90 cm²

FORMULE 15- Calcul de la surface d'un trapèze connaissant les valeurs des deux bases et de la hauteur.

FORMULE 16- Calcul de la surface d'un pentagone régulier connaissant la longueur des côtés (le pentagone régulier est un polygone ayant cinq côtés égaux et cinq angles égaux).

S 1,72 c² S = surface c = côté

Exemple (figure 3-a) :

Donnée : c = 20 mm Surface : S 1,72 x 20² = 1,72 x 400 = 688 mm²

FORMULE 16 - 1 : Polygones réguliers et irréguliers
On dit qu'un polygone est régulier lorsque tous ses côtés et tous ses angles sont congrus (égaux).

On dit qu'un polygone est irrégulier lorsque certains de ses côtés et certains de ses angles sont inégaux (incongrus).

Polygone régulier Polygone irrégulier

FORMULE 17- Calcul de la surface d'un hexagone régulier connaissant la longueur d'un côté (l'hexagone régulier est un polygone ayant six côtés égaux et six angles internes égaux).

S = 2,60 x c² S = surface c = côté

Exemple (figure 3-b "ci-dessus") :

Donnée : c = 12 mm Surface : S 2,60 x 12² = 2,60 x 144 = 374,4 mm²

FORMULE 18- Calcul du périmètre d'un cercle (circonférence) connaissant la valeur du diamètre.

FORMULE 19- Calcul de la surface d'un cercle connaissant la valeur du diamètre.

FORMULE 20-Calcul de la longueur d'un arc de cercle connaissant la valeur de l'angle au centre et la longueur du rayon.

(Pour faciliter la lecture, nous reportons la même figure à savoir figure 3)

FORMULE 21- Calcul de la surface d'un secteur circulaire connaissant la valeur de l'angle au centre et la longueur du rayon (un secteur circulaire est la surface plane délimitée par un arc de cercle et deux rayons).

FORMULE 22- Calcul de la surface d'une couronne circulaire connaissant la valeur des deux diamètres (une couronne circulaire est la surface plane comprise entre deux circonférences concentriques).

FORMULE 23- Calcul de la surface d'un segment de parabole connaissant la valeur de la base et de la hauteur (on appelle segment de parabole la surface plane comprise entre un arc de parabole et la corde sous-tendue entre les extrémités de l'arc).

S = 2 / 3 x b x h S = surface b = base h = hauteur

Exemple (figure 4-a) :

Données : b = 12 cm ; h = 8 cm Surface : S = 2 / 3 x 12 x 8 = 2 / 3 x 96 = (2 x 96) / 3 = 64 cm²

FORMULE 24-Calcul de la surface d'une ellipse connaissant la longueur des deux axes.

FORMULE 25- Calcul de la longueur d'une hélice connaissant le nombre de spires, les valeurs du diamètre et de la hauteur.

FORMULE 26 - Calcul du volume d'un cube connaissant la longueur de l'arête.

V = a³ V = volume a = arête

Exemple (figure 5-a) :

Donnée : a = 4 cm Volume : V = 4³ = 4 x 4 x 4 = 64 cm³

FORMULE 27- Calcul du volume d'un parallélépipède connaissant les valeurs de la longueur et de la largeur de la base, et la hauteur.

V = a x b x h V = volume a = longueur de la base b = largeur de la base h = hauteur

Exemple (figure 5-b) :

Données : a = 25 mm ; b = 30 mm ; h = 70 mm Volume : V = 25 x 30 x 70 = 52 500 mm³ = 52,5 cm³

FORMULE 28-Calcul du volume d'un cylindre connaissant les valeurs du diamètre et de la hauteur.

FORMULE 28 - 1 : Pour calculer un cylindre d'un volume engendré par la rotation d’un rectangle autour de l’un de ses côtés (surface latérale = 2Rh ; surface totale = 2R (h+R) ; volume = R²h, h étant la hauteur et R le rayon du cercle de base).

FORMULE 29- Calcul du volume d'un cylindre creux connaissant les valeurs des deux diamètres et de la hauteur.

FORMULE 30- Calcul du volume d'un anneau à section carrée connaissant les valeurs des diamètres externes et internes.

FORMULE 31- Calcul du volume d'un tore (anneau à section circulaire) connaissant la valeur du diamètre extérieur et celle du diamètre de la section de l'anneau.

FORMULE 32-Calcul de la surface d'une sphère connaissant la valeur du diamètre.

Exemple (figure 7-a) :

Donnée : d = 15 mm Surface : S 3,14 x 15² = 3,14 x 225 = 706,5 mm²

FORMULE 33- Calcul du volume d'une sphère connaissant la valeur du diamètre.

Exemple (figure 7-a) :

Donnée : d = 15 mm Volume : V 0,523 x 15³ = 0,523 x 3375 = 1765,125 mm³

FORMULE 34- Calcul de la surface d'une calotte sphérique connaissant les valeurs du diamètre du contour et de la hauteur.

FORMULE 35-Calcul du volume d'une calotte sphérique connaissant la valeur du diamètre de la base et de la hauteur.

FORMULE 36 -Calcul du volume d'une paraboloïde connaissant la valeur du diamètre de la base et de la hauteur.

2. Fonction trigonometrique

Lignes trigonométriques[modifier]

Un triangle quelconque rectiligne (ou sphérique) possède six parties dont trois côtés et trois angles. Toutes ces parties ne sont pas utiles à la construction du triangle, par exemple les seules données de la longueur de deux de ses côtés et de l'angle entre ces côtés permet de compléter le triangle. Mais connaissant seulement les trois angles, il est impossible de retrouver le triangle, puisqu'il existe une infinité de triangles ayant les trois mêmes angles (triangles semblables). En fait il suffit de connaître trois de ces parties dont un côté pour construire un triangle.

Le problème de la détermination avec exactitude des parties manquantes du triangle fut étudié en particulier en Europe à partir du Moyen Âge. Les méthodes géométriques ne donnant, à l'exception des cas simples, que des constructions approximatives et insuffisantes à cause de l'imperfection des instruments utilisés, les recherches s'orientèrent plutôt vers des méthodes numériques afin d'obtenir des constructions avec un degré de précision voulu.

Et l'un des objectifs de la trigonométrie fut donc de donner des méthodes pour calculer toutes les parties d'un triangle, c'est-à-dire pour résoudre un triangle. Pendant longtemps les géomètres cherchèrent en vain des relations entre les angles et les côtés des triangles. Une de leurs plus grandes idées fut de se servir des arcs plutôt que des angles pour effectuer leurs mesures.

Un arc est un arc de cercle décrit de l'un des sommets du triangle comme centre et compris entre les côtés se rapportant au sommet. Ces considérations menèrent tout naturellement les géomètres à remplacer les arcs par les segments de droites dont ils dépendent.

Ces segments s'appellent les lignes trigonométriques. Il s'agit en fait d'un autre vocable pour désigner les fonctions trigonométriques (sin x, cos x, tan x, ...) appelées aussi fonctions circulaires. Des relations entre les côtés et certaines lignes liées aux arcs s'établissent de manière à ce que les lignes puissent être déterminées à partir de certains arcs et réciproquement. Une convention fondamentale oblige alors à ne considérer que les lignes trigonométriques rapportées à des cercles de rayon 1. Ces lignes trigonométriques définissent les fonctions trigonométriques modernes.

Les fonctions trigonométriques mathématiques sont celles qui s'appliquent à des mesures d'angles données en radians. Mais il est encore d'usage de garder les mêmes noms de fonctions pour les autres unités de mesures comme les degrés ou les grades.

Définitions dans un triangle rectangle[modifier]

Pour définir les fonctions trigonométriques en un angle Â, considérons un triangle rectangle arbitraire qui contient l'angle Â.

Les côtés du triangle rectangle sont appelés :

l’hypoténuse : c'est le côté opposé à l'angle droit, une jambe de l'angle Â et le côté le plus long du triangle,
le côté opposé : c'est le côté opposé à l'angle Â, qui nous intéresse,
le côté adjacent : c'est le côté qui est une jambe de l'angle Â, qui n'est pas l'hypoténuse.

On notera :

h : la longueur de l'hypoténuse,

o : la longueur du côté opposé,

a : la longueur du côté adjacent.

1) Le sinus d'un angle est le rapport de la longueur du côté opposé par la longueur de l'hypoténuse :

sin(Â) = longueur du côté opposé / longueur de l'hypoténuse = o/h.

Ce rapport ne dépend pas du triangle rectangle particulier choisi, aussi longtemps qu'il contient l'angle Â, puisque tous ces triangles rectangles sont semblables.

Sinus = Opposé/Hypoténuse

2) Le cosinus d'un angle est le rapport de la longueur du côté adjacent par la longueur de l'hypoténuse :

cos(Â) = longueur de côté adjacent / longueur de l'hypoténuse = a/h.

Cosinus = Adjacent/Hypoténuse

3) La tangente d'un angle est le rapport de la longueur du côté opposé à la longueur du côté adjacent :

tan(Â) = longueur du côté opposé / longueur du côté adjacent = o/a.

Tangente = Opposé/Adjacent

Les trois fonctions restantes sont définies en utilisant les trois fonctions ci-dessus.

4) La cosécante de Â notée cosec(Â) est l'inverse du sinus de Â, 1/sin(Â), c'est-à-dire le rapport de la longueur de l'hypoténuse par la longueur du côté opposé :

cosec(Â)=longueur de l'hypoténuse / longueur du côté opposé = h/o.

5) La sécante de Â notée sec(Â) est l'inverse du cosinus de Â, 1/cos(Â), c'est-à-dire le rapport de la longueur de l'hypoténuse par la longueur du côté adjacent:

sec(Â)=longueur de l'hypoténuse / longueur du côté adjacent = h/a.

6) La cotangente de Â notée cotg(Â) est l'inverse de la tangente de Â, 1/tan(Â), c'est-à-dire le rapport de la longueur du côté adjacent par la longueur du côté opposé:

cotg(Â)= longueur du côté adjacent / longueur du côté opposé = a/o.

Valeurs remarquables[modifier]

Il existe des tables de valeurs des fonctions trigonométriques, mais ces valeurs peuvent également être calculées par une calculatrice. Pour quelques angles simples, les valeurs peuvent être calculées à la main, comme dans les exemples suivants :

c =

\sqrt2

Supposons que l'on ait un triangle rectangle dans lequel les deux angles sont égaux et valant donc 45 degrés (π/4 radians). Puisque les longueurs a et b sont égales, nous pouvons choisir a = b = 1.

Maintenant, on peut déterminer le sinus, le cosinus et la tangente d'un angle de 45 degrés. En utilisant le théorème de Pythagore, $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{2}$ . Ceci est illustré dans la figure de droite.

Par conséquent,

$\sin {45^\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ,

$\cos {45^\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ,

$\tan {45^\circ} = \frac{1}{1} = 1$

Pour déterminer les valeurs des fonctions trigonométriques pour des angles de 60 degrés (π/3 radians) et de 30 degrés (π/6 radians), nous commençons par considérer un triangle équilatéral de longueur latérale 1. Tous ses angles sont de 60 degrés. En le divisant en deux, nous obtenons un triangle rectangle dont un angle est de 30 degrés. On obtient :

$\sin {30^\circ} = \frac{1}{2}$ ,

$\cos {30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ,

$\tan {30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\sin {60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ,

$\cos {60^\circ} = \frac{1}{2}$ ,

$\tan {60^\circ} = \sqrt{3}$ .

On peut se souvenir de ces valeurs en construisant la table suivante : en mettant dans l'ordre 0, π/6 (30°), π/4 (45°), π/3 (60°) et π/2 (90°), le sinus prend les valeurs $\frac{\sqrt{n}}{2}$ , et pour le cosinus, on prend l'ordre inverse.

Valeurs particulières de **sin** et **cos**
Angle	0	π/6 30°	π/4 45°	π/3 60°	π/2 90°
sin	$\frac{\sqrt{0}}{2}$ 0	$\frac{\sqrt{1}}{2}$ 1/2	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{4}}{2}$ 1
cos	$\frac{\sqrt{4}}{2}$ 1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{1}}{2}$ 1/2	$\frac{\sqrt{0}}{2}$ 0
tan	0	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	1	$\sqrt{3}$	ind.

Autres valeurs remarquables :

$\sin \left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$ $\cos\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$

$\sin\left(\frac{\pi}{10}\right) = \frac{1}{1+\sqrt{5}}$

$\tan\left(\frac{\pi}{24}\right) = (\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)$

Zéros[modifier]

$x\in \mathbb{R}, \sin(x)=0 \Leftrightarrow x \in \{k \pi ; k \in \mathbb{Z}\}$ .

$x\in \mathbb{R}, \cos(x)=0 \Leftrightarrow x \in \{\pi / 2 + k \pi ; k \in \mathbb{Z}\}$ .

Définitions à partir du cercle unité[modifier]

Les six fonctions trigonométriques peuvent également être définies à partir du cercle unité. La définition géométrique ne fournit presque pas de moyens pour le calcul pratique; en effet elle se fonde sur des triangles rectangles pour la plupart des angles. Le cercle trigonométrique, en revanche, permet la définition des fonctions trigonométriques pour tous les réels positifs ou négatifs, pas seulement pour des angles de mesure en radians comprise entre $0 \mbox{ et } \frac{\pi}{2}$ .

Dans un plan muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$ , le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1. Si l'on considère un point A(x_A, y_A) sur le cercle, alors on a :

$\cos \widehat{(\vec{i},\vec{OA})} = x_A$

$\sin \widehat{(\vec{i},\vec{OA})} = y_A$

Sur le cercle ci-contre, nous avons représenté certains angles communs, et nous avons indiqué leurs mesures en radians figurant dans l'intervalle $[ - 2π,2π]$ , soit deux mesures par angle et même trois pour l'angle nul.

Notez que nous mesurons les angles positifs dans le sens trigonométrique, contraire à celui des aiguilles d'une horloge, et les angles négatifs dans le sens horaire. Une demi-droite qui fait un angle $θ$ avec la demi-droite positive 0x de l'axe des abscisses coupe le cercle en un point de coordonnées $(cosθ,sinθ)$ . Géométriquement, cela provient du fait que l'hypoténuse du triangle rectangle ayant pour sommets les points de coordonnées (0, 0), (cos θ, 0) et (cos θ, sin θ) est égale au rayon du cercle donc à 1. On a donc $\sin \theta = {y\over 1} = y$ et $\cos \theta = {x\over 1} = x$ . Le cercle unité peut être considéré comme une façon de regarder un nombre infini de triangles obtenus en changeant les longueurs des côtés opposés et adjacents mais en gardant la longueur de leur hypoténuse égale à 1.

Bien que seulement le sinus et le cosinus aient été définis directement par le cercle unité, les autres fonctions trigonométriques peuvent être définies par:

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$

$\operatorname{cosec}\, \theta = \frac{1}{\sin \theta}$

$\operatorname{cotg}\, \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$

Le cercle unité a pour équation :

$x^2 + y^2 = 1\,$

Cela donne immédiatement la relation

$\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1\,$

Relations entre sinus et cosinus[modifier]

NB : Les valeurs d'angles sont en radians.

Pour définir les angles strictement plus grands que $2\pi\,\!$ ou strictement négatifs, il suffit d'effectuer des rotations autour du cercle. De cette façon, le sinus et le cosinus deviennent des fonctions périodiques de période $2\pi\,\!$ :

pour tout angle $\theta\,\!$ et tout entier k :

$\cos(\theta) = \cos(\theta + 2k\pi)\,\!$

$\sin(\theta) = \sin(\theta + 2k\pi)\,\!$

Ceci exprime le caractère périodique de ces fonctions. Grâce au cercle, et avec des considérations géométriques simples, on peut voir que

$\cos(\theta + \pi) = - \cos(\theta)\,\!$

$\sin(\theta + \pi) = - \sin(\theta)\,\!$

car $\theta + \pi\,\!$ et $\theta\,\!$ sont diamétralement opposés sur le cercle.

$\cos\le </div> <div class=$ ft(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin(\theta)\,\!" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/7/e/c7eaabfbba16fb2d21a455be61572fd8.png" />

$\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos(\theta)\,\!$

car $\frac{\pi}{2} - \theta\,\!$ est le point symétrique de $\theta\,\!$ par rapport à la bissectrice de $(\vec{i},\vec{j})$ .

$\cos\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = - \sin(\theta)\,\!$

$\sin\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = \cos (\theta)\,\!$

car $\theta + \frac{\pi}{2}\,\!$ se déduit de $\theta\,\!$ par rotation d'un quart de tour.

$\cos(\pi - \theta) = - \cos(\theta)\,\!$

$\sin(\pi - \theta) = \sin(\theta)\,\!$

car $\pi - \theta\,\!$ est le symétrique de $\theta\,\!$ par rapport à $(O,\vec{j})$ .

$\cos(- \theta) = \cos(\theta)\,\!$

$\sin(- \theta) = - \sin(\theta)\,\!$

car $- \theta\,\!$ est le symétrique de $\theta\,\!$ par rapport à $(O,\vec{i})$ .

Ces formules font partie des identités trigonométriques.

Relations trigonométriques[modifier]

$\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)\,\!$

$\cos(a - b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)\,\!$

$\sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)\,\!$

$\sin(a - b) = \sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b)\,\!$

$\tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a)\tan(b)}$

$\tan(a - b) = \frac{\tan(a) - \tan(b)}{1 + \tan(a)\tan(b)}$

$\cos(p) + \cos(q) = 2\cos(\frac{p+q}{2})\cos(\frac{p-q}{2})$

$\cos(p) - \cos(q) = -2\sin(\frac{p+q}{2})\sin(\frac{p-q}{2})$

$\sin(p) + \sin(q) = 2\sin(\frac{p+q}{2})\cos(\frac{p-q}{2})$

$\sin(p) - \sin(q) = 2\sin(\frac{p-q}{2})\cos(\frac{p+q}{2})$

$\cos(a)\cos(b) = \frac{1}{2} (\cos(a + b) + \cos(a - b))$

$\sin(a)\sin(b) = \frac{1}{2} (\cos(a - b) - \cos(a + b))$

$\sin(a)\cos(b) = \frac{1}{2} (\sin(a + b) + \sin(a - b))$

$\cos(a) = \frac{1-\tan^2(\frac{a}{2})}{1+\tan^2(\frac{a}{2})}$

$\sin(a) = \frac{2\tan(\frac{a}{2})}{1+\tan^2(\frac{a}{2})}$

$\tan(a) = \frac{2\tan(\frac{a}{2})}{1-\tan^2(\frac{a}{2})}$

Représentations graphiques[modifier]

Voici les représentations graphiques des fonctions sinus, cosinus et tangente:

Parité des fonctions[modifier]

sinus est une fonction impaire : $\forall x\in\R$ on a $\sin(- x) = -\sin(x)\,\!$

cosinus est une fonction paire : $\forall x\in\R$ on a $\cos(- x) = \cos(x)\,\!$

tangente est une fonction impaire : $\forall x\in\R\setminus \left\{\frac \pi 2 + k\pi,\, k \in \Z \right\}$ on a $\tan(- x) = -\tan(x)\,\!$

Limites et dérivées[modifier]

On a $\lim_{x\to\pi/2^-}\tan x =+\infty$ , $\frac d{dx}\sin x=\cos x$ , $\frac d{dx}\cos x=-\sin x$ et $\frac d{dx}\tan x=1+\tan^2 x$ .

On trouvera d'autres relations sur la page consacrée aux identités trigonométriques.

Définitions à partir des séries entières[modifier]

Ici, et généralement en analyse, il est de la plus grande importance que tous les angles soient mesurés en radians. On peut alors définir

$\sin(x) = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} + \cdots + (-1)^{k}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} +\cdots = \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} {( - 1)^n } \frac{{x^{2n + 1} }}{{(2n + 1)!}}$

$\cos(x)=1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} + \cdots + (-1)^{k}\frac{x^{2k}}{(2k)!} + \cdots = \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} {( - 1)^n } \frac{{x^{2n} }}{{(2n)!}}$

Ces définitions sont équivalentes à celles données ci-dessus ; on peut le justifier avec la théorie des séries de Taylor, et avec le fait que la dérivée du sinus est le cosinus et que celle du cosinus est l'opposé du sinus.
Ces définitions sont souvent utilisées comme point de départ des traités rigoureux d'analyse et de la définition du nombre π puisque la théorie des séries est bien connue. La dérivabilité et la continuité sont alors faciles à établir, de même que les formules d'Euler en analyse complexe reliant les fonctions trigonométriques à la fonction exponentielle, ainsi que l'identité d'Euler. Les définitions utilisant les séries ont l'avantage supplémentaire de permettre de prolonger les fonctions sinus et cosinus en des fonctions analytiques dans tout le plan complexe.

Il n'est pas possible d'obtenir des séries aussi simples pour les autres fonctions trigonométriques, mais on a, par exemple

$\begin{align} \tan x & {} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} \ & {} = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots, \qquad \text{pour } |x| < \frac {\pi} {2} \end{align}$

où B_n est le n-ème nombre de Bernoulli. Ces expressions se traduisent sous forme de fractions continues, elles ont permis à Lambert de démontrer l'irrationalité du nombre π (cf l'article Fraction continue).

Relations avec la fonction exponentielle et les nombres complexes[modifier]

On peut montrer à partir de la définition des séries que les fonctions sinus et cosinus sont respectivement la partie imaginaire et la partie réelle de la fonction exponentielle quand son argument est imaginaire pur :

$e^{i \theta} = \cos\theta + i\sin\theta \,.$

Cette relation a été trouvée par Euler.

$\sin z \, = \, \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1} \, = \, {e^{iz} - e^{-iz} \over 2i} = {\operatorname{sh} \left( iz\right) \over i}$

$\cos z \, = \, \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n} \, = \, {e^{iz} + e^{-iz} \over 2} = \operatorname{ch} \left(iz\right)$

où i² = −1.

$\cos x \, = \, \mbox{Re } (e^{ix})$

$\sin x \, = \, \mbox{Im } (e^{ix})$

Voir à ce sujet l'article Trigonométrie complexe

Fonctions réciproques[modifier]

Les fonctions trigonométriques ne sont pas bijectives. En les restreignant à certains intervalles, les fonctions trigonométriques réalisent des bijections. Les applications réciproques (arcsin, arccos, arctan, arccosec, arcsec et arccotg) sont habituellement définies par :

pour tous réels x et y tels que
-1 ≤ x ≤ 1, -π/2 ≤ y ≤ π/2

y = arcsin(x) si et seulement si x = sin(y)
pour tous réels x et y tels que
-1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ π,

y = arccos(x) si et seulement si x = cos(y)
pour x réel quelconque et y tel que
-π/2 < y < π/2,

y = arctan(x) si et seulement si x = tan(y)
pour tous réels x et y tels que
(x ≤ -1 ou x ≥ 1), (-π/2 ≤ y ≤ π/2 et y ≠ 0),

y = arccosec(x) si et seulement si x = cosec(y)
pour tous réels x et y tels que
(x ≤ -1 ou x ≥ 1), (0 ≤ y ≤ π et y ≠ π/2),

y = arcsec(x) si et seulement si x = sec(y)
pour tous réels x et y tels que
x ? 0, (0 < y < π et y? π/2),

y = arccotg(x) si et seulement si x = cotg(y)

Ces fonctions peuvent s'écrire sous forme d'intégrales indéfinies :

$\operatorname{arcsin}(x) = \int_0^x\frac{1}{\sqrt{1 - t^{2}}}dt$
$\operatorname{arccos}(x) = \int_1^x-\frac{1}{\sqrt{1 - t^{2}}}dt$
$\operatorname{arctan}(x) = \int_0^x\frac{1}{1 + t^{2}}dt$
$\mathrm{arccosec}(x) = \int_{+\infty}^x-\frac{1}{t \sqrt{t^{2} - 1}}dt$
$\arcsec(x) = \int_1^x\frac{1}{t \sqrt{t^{2} - 1}}dt$
$\mathrm{arccotg}(x) = \int_{+\infty}^x-\frac{1}{1 + t^{2}}dt$

Égalités pratiques :

$\cos(\operatorname{arcsin}(x)) = \sqrt{1 - x^{2}}$
$\sin(\operatorname{arccos}(x)) = \sqrt{1 - x^{2}}$
$\sin(\operatorname{arctan}(x)) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$
$\tan(\operatorname{arcsin}(x)) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
$\tan(\operatorname{arccos}(x)) = \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}$
$\cos(\operatorname{arctan}(x)) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Propriétés et applications[modifier]

Article détaillé : Applications de la trigonométrie.

Les fonctions trigonométriques, comme leur nom le suggère, ont une importance cruciale en trigonométrie, mais interviennent aussi dans l'étude des fonctions périodiques.

En trigonométrie[modifier]

En trigonométrie, elles fournissent des relations intéressantes entre les longueurs des côtés et les angles d'un triangle quelconque.

Considérons un triangle quelconque :

la loi des sinus s'écrit:

$\frac{\sin \widehat{A}}{a}= \frac{\sin \widehat{B}}{b}=\frac{\sin \widehat{C}}{c}$

Cette relation peut être démontrée en divisant le triangle en deux triangles rectangles et en utilisant la définition ci-dessus du sinus.

Le nombre commun $\frac{\sin(\widehat{A})}{a}$ apparaissant dans le théorème est l'inverse du diamètre du cercle circonscrit au triangle (cercle passant par les trois points A, B et C). La loi des sinus est utile pour calculer des longueurs inconnues des côtés dans un triangle quelconque si deux angles et un côté sont connus. C'est une situation courante survenant dans la triangulation, une technique pour déterminer des distances inconnues en mesurant deux angles et une distance.

la loi des cosinus ou théorème d'Al-Kashi est une généralisation du théorème de Pythagore

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos(\widehat{C})$

À nouveau, ce théorème peut être démontré en divisant le triangle en deux triangles rectangles. La loi des cosinus est utile pour déterminer les données inconnues d'un triangle si deux des côtés et un angle sont connus. Remarquons que l'angle connu doit être contenu dans les deux côtés dont nous connaissons la longueur.

Il y a également la loi des tangentes :

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan((\widehat{A}-\widehat{B})/2)}{\tan((\widehat{A}+\widehat{B})/2)}$

L'utilisation des fonctions trigonométriques ne se limite pas seulement à l'étude des triangles. Les fonctions trigonométriques sont des fonctions périodiques dont les représentations graphiques correspondent à des modèles caractéristiques d'ondes, utilisés pour modéliser des phénomènes oscillatoires tels que le bruit ou les ondes de la lumière. Chaque signal peut être écrit comme une somme (en général infinie) de fonctions de sinus et de cosinus de différentes fréquences; ce sont les séries de Fourier.

Pour avoir un formulaire de relations entre les fonctions trigonométriques, consultez les identités trigonométriques.

En analyse harmonique[modifier]

Animation montrant la décomposition additive d'un signal carré lorsque le nombre d'harmoniques s'accroît

Les fonctions sinus et cosinus apparaissent aussi dans la description d'un mouvement harmonique simple, un concept important en physique. Dans ce contexte les fonctions sinus et cosinus sont utilisées pour décrire les projections sur un espace à une dimension d'un mouvement circulaire uniforme, le mouvement d'une masse au bout d'un ressort, ou une approximation des oscillations de faible écart angulaire d'un pendule.

Les fonctions trigonométriques sont aussi importantes dans d'autres domaines que celui de l'étude des triangles. Elles sont périodiques et leurs représentations graphiques sont des sinusoïdes et peuvent servir à modéliser des phénomènes périodiques comme le son, les ondes de lumière. Tout signal, vérifiant certaines propriétés, peut être décrit par une somme (généralement infinie) de fonctions sinus et cosinus de différentes fréquences ; c'est l'idée de base de l'analyse de Fourier, dans laquelle les séries trigonométriques sont utilisées pour résoudre de nombreux problèmes aux valeurs limites dans des équations aux dérivées partielles. Par exemple un signal carré, peut être décrit par une série de Fourier :

$x_{\mathrm{carr\acute{e}}}(t) = \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^\infty {\sin{\left ( (2k-1)t \right )}\over(2k-1)}.$

Histoire[modifier]

Article détaillé : Histoire des fonctions trigonométriques.

Les traces les plus anciennes d'utilisation de sinus seraient apparues dans le Sulba Sutras écrit en indien ancien dans la période du VIII^e siècle av. J.-C. au VI^e siècle av. J.-C.

Les fonctions trigonométriques furent plus tard étudiées par Hipparque de Nicée (185-125 av. J.-C.), Âryabhata (476-550), Varahamihira, Brahmagupta, Muhammad ibn Mūsā al-Khuwārizmī, Abu l-Wafa, Omar Khayyam, Bhāskara II, Nasir ad-Din at-Tusi, Regiomontanus (1464), Al-Kachi (quatorzième siècle), Ulugh Beg (quatorzième siècle), Madhava (1400), Rheticus et son disciple Valentin Otho.

L'ouvrage Introductio in analysin infinitorum (1748) de Leonhard Euler fut en grande partie à l'origine des considérations analytiques des fonctions trigonométriques en Europe en les définissant à partir de développements en séries, et présenta les formules d'Euler.